Les verbes impersonnels

Ce sont des verbes qui n'existent qu'avec "il": il faut, il pleut, il neige... "il", ce n'est personne.

Certains verbes existent à la forme personnelle et à la forme impersonnelle:
Ce vin ne vaut pas grand-chose. Il vaut mieux que tu partes.
Je fais mon travail. Il fait chaud aujourd'hui. Il ne fait aucun doute que j'ai réussi. Comment se fait-il que tu ne sois pas venu?
Il est arrivé cinq minutes après vous. Il est arrivé que je me trompe.
J'ai trouvé un billet de vingt euros. Il se trouve que je me suis trompé. (= c'est un fait, cela arrive)
Tu peux réussir. Il se peut que tu réussisses.
Une victoire de notre équipe au match de foot est possible. Il est possible que notre équipe gagne.
Si tu t'entraînes, ta réussite à l'examen deviendra possible. Il deviendra possible que tu réussisses ton examen.
Je reste souvent après la fin du concert. Il reste un peu d'eau au fond de la bouteille.
Même si tu n'as pas fait exprès, il n'en reste pas moins que tu m'as fait mal. (= quand même)
Salue ton chef comme tu dois le faire. Salue ton chef comme il se doit.

Le verbe pleuvoir existe parfois à la forme personnelle, mais au sens figuré:
Quand le maître était de mauvaise humeur, les coups pleuvaient sur les esclaves.

Dans certains cas, le vrai sujet est après le verbe utilisé à la forme impersonnelle:
Il venait toujours plus de monde au concert.
Il pleuvait des cordes ce jour-là.
Il restait toujours quelques personnes après le film.
Il se dit beaucoup de choses fausses.
Dans ce quartier, il se commet beaucoup de vols.

Attention: ne pas confondre il faut que et il vaut mieux que.
Il faut que tu viennes. (tu dois venir: indicatif, c'est obligatoire)
Il vaut mieux (ou Il vaudrait mieux) que tu viennes. (il faudrait que tu viennes, tu devrais venir: conditionnel, c'est mieux)

Constructions du verbe il faut:
Je dois avoir un stylo pour écrire. -> Il faut que j'aie un stylo pour écrire, Il me faut avoir un stylo pour écrire, Il me faut un stylo pour écrire.
On doit avoir un stylo pour écrire. -> Il faut qu'on ait un stylo pour écrire, Il faut avoir un stylo pour écrire, Il faut un stylo pour écrire.

Voir les tableaux de conjugaison.